11.1. Representação matricial#

Vamos nos concentrar no espaço 3D. Como consequência da invariância das relações afins temos que para:

$R={\alpha }_{0}F.{\overrightarrow{e}}_0+{\alpha }_{1}F.{\overrightarrow{e}}_1+{\alpha }_{2}F.{\overrightarrow{e}}_2+{\alpha }_3\mathcal{O}$,

então:

$\mathbf{T}(R)={\alpha }_0\mathbf{T}(F.{\overrightarrow{e}}_0)+{\alpha }_1\mathbf{T}(F.{\overrightarrow{e}}_1)+{\alpha }_2\mathbf{T}(F.{\overrightarrow{e}}_2)+{\alpha }_3\mathbf{T}(\mathcal{O})$.

Nesse caso ${\alpha }_3$ é 0 (zero para vetores) ou 1 (um para pontos). A equação da esquerda é a representação de um ponto ou vetor $R$ em termos do sistema de coordenadas $F$. Essa implicação mostra que se conhecemos a imagem dos elementos do sistema sob a transformação, então conhecemos a imagem $R$ sob a transformação.

Vimos na aula anterior que a representação homogênea de coordenadas de $R$ em relação ao sistema $F$ é $R[F]=({\alpha }_0,{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3{)}^T$. Lembre-se que o sobrescrito $T$ neste contexto significa transpor este vetor linha para um vetor coluna, e não deve ser confundido com a transformação $\mathbf{T}$. Assim, podemos expressar a relação acima em forma matricial como:

$\mathbf{T}(R)[F]=\left(\begin{array}{c}\mathbf{T}(F.{\overrightarrow{e}}_0)[F]\mid \mathbf{T}(F.{\overrightarrow{e}}_1)[F]\mid \mathbf{T}(F.{\overrightarrow{e}}_2)[F]\mid \mathbf{T}(F.\mathcal{O})[F]\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_0\\ {\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ {\alpha }_3\end{array}\right)$.

Nessa representação as colunas da matriz correspondem às imagens dos elementos do sistema sob $\mathbf{T}$. Isso implica que aplicar uma transformação afim (na forma de coordenadas) é equivalente a multiplicar as coordenadas por uma matriz. Na dimensão $d$ esta é uma matriz $(d+1)\times (d+1)$.

Se você achou tudo isso um pouco abstrato, no restante dessa aula vamos fornecer alguns exemplos concretos. Em vez de considerar isso no contexto de transformações bidimensionais, vamos considerá-lo no cenário mais geral de transformações tridimensionais. Os casos bidimensionais podem ser derivadas simplesmente ignorando as linhas e colunas para as coordenadas z.

11.2. Translação#

Traslação por um vetor $\overrightarrow{v}$ mapeia um ponto $P$ para $P+\overrightarrow{v}$.

Observe que, como os vetores não têm posição no espaço, os vetores livres não são alterados por translação.

Suponha que em relação ao sistema de coordenadas padrão, $\overrightarrow{v}[F]=({\alpha }_x,{\alpha }_y,{\alpha }_z,0{)}^T$ sejam as coordenadas homogêneas de $\overrightarrow{}$. Os três vetores unitários não são afetados pela translação, e a origem é mapeada para $\mathcal{O}+\overrightarrow{v}$, cujas coordenadas homogêneas são $({\alpha }_x,{\alpha }_y,{\alpha }_z,1)$. Assim, pela regra dada anteriormente, a representação matricial homogênea para esta transformação de translação é

$\mathbf{T}(\overrightarrow{v})=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& {\alpha }_x\\ 0& 1& 0& {\alpha }_y\\ 0& 0& 1& {\alpha }_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$.

11.3. Escala#

O escalonamento uniforme é uma transformação que é realizada em relação a algum ponto fixo central. Vamos supor que este ponto é a origem do sistema de coordenadas padrão. (Vamos deixar o caso geral como exercício.) Dado um $\beta$ escalar, essa transformação mapeia o objeto (ponto ou vetor) com coordenadas $({\alpha }_x,{\alpha }_y,{\alpha }_z,{\alpha }_w{)}^T$ para $(\beta {\alpha }_x,\beta {\alpha }_y,\beta {\alpha }_z,{\alpha }_w{)}^T$.

Em geral, é possível especificar fatores de escala separados para cada um dos eixos. Isso é chamado de escalonamento não uniforme. Os vetores unitários são esticados pelo fator de escala correspondente e a origem não é movida.

A forma matricial mais genérica dessa transformação é

$S({\beta }_x,{\beta }_y,{\beta }_z)=\left(\begin{array}{cccc}{\beta }_x& 0& 0& 0\\ 0& {\beta }_y& 0& 0\\ 0& 0& {\beta }_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$.

Observe que tanto pontos quanto vetores são afetados por escalonamento.

11.4. Reflexão#

Uma reflexão em 2D ao redor de uma linha mapeia os pontos refletindo-os em torno dessa linha. Uma reflexão em 3D recebe um plano e reflete os pontos no espaço em torno desse plano. Neste caso, a reflexão é apenas um caso especial de escalonamento por um fator de escala negativo. Por exemplo, para refletir pontos sobre o plano $yz$, devemos escalar a coordenada $x$ por -1. Essa matriz de reflexão é dada por:

$F_x=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$.

Os demais casos para os planos $xz$ e $xy$ são similares. Uma reflexão ao redor de uma linha ou plano arbitrário fica como exercício.

11.5. Rotação#

De forma geral, uma rotação é definida em torno de algum ponto fixo em 2D ou em torno de algum vetor fixo no espaço 3D. Consideraremos o caso mais simples em que o ponto fixo é a origem do sistema de coordenadas e o vetor é um dos eixos de coordenadas. Assim, em 3D existem três rotações básicas: sobre os eixos $x$, $y$ e $z$. Em cada caso a rotação é definida por meio de um ângulo $\theta$ dado em radianos. Vamos assumir que a rotação está de acordo com a regra da mão direita, ou seja, se o polegar direito estiver alinhado com o eixo de rotação, a rotação positiva será indicada pelos demais dedos.

Por exemplo, no plano $xy$ (em 2D), para um sistema com eixo horizontal $x$ apontando para a direita, $y$ para cima e $z$ saindo do plano (sistema de eixos de acordo com a mão direita) uma rotação positiva segue no sentido anti-horário. Ainda nesse caso, após uma rotação por um ângulo $\theta$, o vetor $z$ e a origem não se alteram, o vetor unitário em $x$ é mapeado para $(cos(\theta ),sin(\theta ),0,0{)}^T$ e o vetor unitário em $y$ é mapeado para $(-sin(\theta ),cos(\theta ),0,0{)}^T$. A matriz de rotação nesse caso é dada por:

$R_z(\theta )=\left(\begin{array}{cccc}cos(\theta )& -sin(\theta )& 0& 0\\ sin(\theta )& cos(\theta )& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$.

Observe que tanto pontos quanto vetores são afetados por rotação. Para rotações aplicadas aos demais eixos temos:

$R_x(\theta )=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos(\theta )& -sin(\theta )& 0\\ 0& sin(\theta )& cos(\theta )& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$, $R_y(\theta )=\left(\begin{array}{cccc}cos(\theta )& 0& sin(\theta )& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -sin(\theta )& 0& cos(\theta )& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$.

11.6. Cisalhamento#

Uma transformação de cisalhamento é talvez a mais difícil de se visualizar. Pense em um cubo de gelatina. O que ocorre quando inclinamos esse cubo? Em 2D, um cisalhamento é uma transformação que mapeia um quadrado em um paralelogramo deslizando um lado paralelo a si mesmo enquanto mantém o lado oposto fixo. No espaço tridimensional, ele mapeia um cubo em um paralelepípedo deslizando uma face paralela enquanto mantém a face oposta fixa.

Consideraremos a forma mais simples, na qual começamos com um cubo unitário cujo canto inferior esquerdo coincide com a origem. Considere um dos eixos, digamos o eixo $z$. A face do cubo que está no plano de coordenadas $xy$ não se move. A face que se encontra no plano $z=1$ é transladada por um vetor $(h_x,h_y)$. Em geral, um ponto $P=(P_x,P_y,P_z,1)$ é transladado pelo vetor $P_z(h_x,h_y,0,0)$. Esse vetor é ortogonal ao eixo $z$ e seu comprimento é proporcional à coordenada $z$ de $P$. Isso é chamado de cisalhamento $xy$. (Os cisalhamentos $yz$ e $xz$ são definidos de forma análoga.)

Sob o cisalhamento $xy$, a origem e os vetores unitários $x$ e $y$ permanecem inalterados. O vetor unitário $z$ é mapeado para $(h_x,h_y,1,0{)}^T$. Assim, a matriz para esta transformação é:

$H_{xy}(h_x,h_y)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& h_x& 0\\ 0& 1& h_y& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$.

Os cisalhamentos envolvendo outros pares de eixos são definidos de forma análoga:

$H_{yz}(h_y,h_z)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ h_y& 1& 0& 0\\ h_z& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$, $H_{xz}(h_x,h_y)=\left(\begin{array}{cccc}1& h_x& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& h_z& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$.

11.7. Onde estamos e para onde vamos?#

Nessa aula começamos utilizar a forma matricial para representar transformações. Essa representação é bastante utilizada em computação gráfica por ser bastante compacta e eficiente. Na próxima aula, veremos como essas matrizes de transformação podem ser utilizadas no WebGL.

11.8. Exercícios#

1. Uma forma de se aplicar uma translação a um conjunto de vértices no WebGL é usando um uniforme do tipo vec2. Por exemplo, as posições do buffer aPosition podem ser transladadas por um uniforme uniform vec2 uTranslacao simplesmente usando a aritmética de vec2 do próprio GLSL como aPosition + uTranslation, para calcular as posições transladadas.

   Considere a animação de uma única bola, simplificando esse exemplo no JSitor. Modifique o vertex shader para incluir um uniforme in vec2 uTranslacao que calcula a posição transladada e altere também o restante do programa de animação para usar a translação diretamente no shader ao invés de recalcular os vértices.

2. Suponha que você tenha a sua disposição uma função desenheQuadrado(Rz, Sx, Sy, Tx, Ty, color) que desenha um quadrado de cor color, de tamanho $1\times 1$ no sistema de coordenadas normalizadas de recorte do WebGL, rotacionado de Rz, escalonado por (Sx, Sy) e transladado para (Tx, Ty) em um canvas de resolução W $\times$ H. Esboce, em pseudo-linguagem, como desenhar a figura abaixo:

11.9. Para saber mais#

• Aula 8 das notas de aula do Prof. Dave Mount.

• Capítulo 5 do livro “Interactive Computer Graphics, 8th edition” de Angel e Shreiner.